Pembahasan Soal Matipa Sbmptn 2017 Arahan 147 Part I

Soal No.1

Jika $x,y$ ialah bilangan konkret yang merupakan solusi dari sistem: $\begin{cases}2x^2 - \dfrac{1}{y^2} = -2 \\x^2 + \dfrac{2}{y^2}=9\end{cases}$
maka $x^2 + 4y^2=\ldots$

Pembahasan No.1

Misalkan $a=x^2$ dan $b=\dfrac{1}{y^2}$ maka sistem di atas sanggup ditulis kembali menjadi \begin{split}2a - b & = -2\\a + 2b & = 9\end{split} Dengan menuntaskan SPLDV di atas diperoleh nilai $a=x^2=1$ dan $b=\dfrac{1}{y^2}=4 \Rightarrow y^2 =\dfrac{1}{4}$. 

Dengan demikian $x^2 + 4y^2=1+1=2$

Soal No.2

Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang manfaatnya dihitung setiap semester.

Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun ialah ...

Pembahasan No.2

Misalkan tabungan awalnya $= M$ , suku bunga yang didapat sebesar $b$ , maka sehabis 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi $M(1 + b)^{10}$ .

Tetapi alasannya ialah sehabis 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split}& M(1+b)^{10}=2M\\\Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\\Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\\Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1\end{split}

Kaprikornus besar tingkat suku bunga per tahun ialah $2b= 2(\sqrt[10]{2}-1)$

 Soal No.3
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^2} \geq -\dfrac{x^2}{x-x^2}$
adalah...

Pembahasan No.3

\begin{split}& \frac{x}{x+x^2} \geq -\frac{x^2}{x-x^2}\\\Rightarrow & \frac{x}{x+x^2} + \frac{x^2}{x-x^2}\geq 0\\\Rightarrow & \frac{x}{x(1+x)} + \frac{x^2}{x(1-x)}\geq 0\\\Rightarrow & \frac{x(1-x)}{x(1+x)(1-x)} +\frac{x^2(1+x)}{x(1-x)(1+x)}\geq 0\\\Rightarrow & \frac{x(1-x)+x^2(1+x)}{x(1+x)(1-x)}\geq 0\\\Rightarrow & \frac{x-x^2+x^2+x^3}{x(1+x)(1-x)}\geq 0\\\Rightarrow & \frac{x+x^3}{x(1+x)(1-x)}\geq 0\\\Rightarrow &\frac{x(1+x^2)}{x(1+x)(1-x)}\geq 0\end{split}

Karena $1+x^2$ Definit Positif

maka pembuat nol pertidaksamaan di atas hanyalah $x=0$ , $x=-1$ dan $x=1$ . Sketsa pada garis bilangan lalu uji titik untuk mengetahui mana nilai $x$ yang merupakan penyelesaian.

Berdasarkan ilustrasi di atas diperoleh himpunan penyelesaian $$\{x|-1 < x < 0 \vee 0 < x < 1\}$$

Soal No.4
Diketahui tiga vektor $a$,$b$ dan $c$ dengan $b\cdot c = 9$ dan $c = b + a$. Misalkan $\gamma$ ialah sudut antara $a$ dan $c$. Jika $\gamma = 30^{\circ}$ dan $|c| = 6$ , maka $|a| = \ldots$

Pembahasan No.4

\begin{split}& c=b+a\\\Rightarrow & a=c-b\\\Rightarrow & a\cdot a=(c-b)\cdot (c-b)\\\Rightarrow & |a|^2 =c\cdot c-2b\cdot c+b\cdot b\\\Rightarrow & |a|^2=|c|^2-2(9)+|b|^2\\\Rightarrow & |a|^2=6^2-18+|b|^2\\\Rightarrow & |a|^2=18+|b|^2\text{ ...(1)}\end{split}

Kemudian dari persamaan yang sama sanggup dibentuk menjadi \begin{split}& c=b+a\\\Rightarrow & b=c-a\\\Rightarrow & b\cdot b=(c-a)\cdot (c-a)\\\Rightarrow & |b|^2 =c\cdot c-2a\cdot c+a\cdot a\\\Rightarrow & |b|^2=|c|^2-2|a||c|\cos \gamma+|a|^2\\\Rightarrow & |b|^2=6^2-2|a|\cdot 6 \cos 30^{\circ}+|a|^2\\\Rightarrow & |b|^2 =36-6\sqrt{3}|a|+|a|^2\text{ ...(2)}\end{split}

Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh \begin{split}& |a|^2 =18+|b|^2\\\Rightarrow & |a|^2=18+36-6\sqrt{3}|a|+|a|^2\\\Rightarrow & 0 = 54-6\sqrt{3}|a|\\\Rightarrow & 6\sqrt{3}|a| = 54\\\Rightarrow & |a| = \frac{9}{\sqrt{3}}\\\Rightarrow & |a| = 3\sqrt{3}\end{split}

Soal No.5
Jika $x_1$ dan $x_2$ ialah solusi dari $\sec x - 2 - 15\cos x = 0$
dengan $0 \leq x \leq \pi$ , $x\neq\dfrac{\pi}{2}$ . Maka $\dfrac{1}{\cos x_1 \cos x_2}=\ldots$

Pembahasan No.5

Karena $0 \leq x \leq \pi$ dan $x\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\cos x$ mustahil bernilai 0. Akibatnya kedua ruas persamaan boleh dikali dengan $\cos x$ sehingga diperoleh \begin{split}& \sec x - 2 - 15\cos x = 0\\\Rightarrow & 1-2\cos x -15\cos^2 x = 0\end{split} 

Misalkan $\cos x= y$ maka persamaan di atas sanggup ditulis kembali menjadi $$-15y^2-2y+1=0$$ 

Dengan menggunakan rumus hasil kali akar persamaan kuadrat didapatkan $$y_1y_2 =\frac{1}{-15} \Rightarrow\frac{1}{y_1y_2}=-15$$ 

Kaprikornus $$\dfrac{1}{\cos x_1 \cos x_2}=\dfrac{1}{y_1y_2}=-15$$

Lanjutan :