Pembahasan Matipa Sbmptn 2018 Arahan 449 Part Iii

Soal No.11

$\displaystyle\int\limits_{1/8}^{1/3}\dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx=\ldots$

Pembahasan No.11

Misalkan $u=1+\dfrac{1}{x}$ maka $du = -\dfrac{1}{x^2}\ dx$. Kalikan kedua ruasnya dengan $-3$ diperoleh : $$-3\ du =\dfrac{3}{x^2}\ dx$$
Jika $x=1/8$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/8}=9$
Jika $x=1/3$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/3}=4$
Dengan demikian : \begin{split}& \int_{1/8}^{1/3} \dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx\\= & \int_{x=1/8}^{x=1/3}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\dfrac{3}{x^2}\ dx\\= & \int_{u=9}^{u=4}\sqrt{u}\cdot -3\ du\\= & -3\int_{9}^{4} u^{1/2}\ du\\= & -3\left[\dfrac{2}{3} u^{3/2}\right]_{9}^{4}\\= & -\left[2 u \sqrt{u}\right]_{9}^{4}\\= & -\left[(2\cdot 4\cdot\sqrt{4})-(2\cdot 9\cdot\sqrt{9})\right]\\= & -\left[16-54\right]\\= & -\left[-38\right]\\= & 38\end{split}

Soal No.12

Diketahui $(a_n)$ dan $(b_n)$ ialah dua barisan aritmetika dengan $a_1=5$ , $a_2=8$,$b_1=3$,dan $b_2=7$.Jika $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{100}\}$dan $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_{100}\}$ ,maka banyaknya anggota $A\cap B$  adalah ...

Pembahasan No.12
Barisan $(a_n)$ memiliki suku pertama 5 dengan beda 3 maka $a_n=3n+2$ dan A={5,8,11,14,17,20,23,...,302}
Barisan $(b_n)$ memiliki suku pertama 3 dengan beda 4 maka $b_n=4n-1$ dan B={3,7,11,15,19,23,...,399}
Dari kedua himpunan di atas diperoleh $A\cap B=${11,23,...}.
Rumus untuk barisan pada himpunan $A\cap B$ ialah $12n-1$ . Karena nilai $12n-1$ mustahil lebih dari 302 maka : $$12n-1 < 302\Rightarrow n < 25.25$$
Makara banyaknya anggota $A\cap B$ ialah 25.

Soal No.13

Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $[0,2\pi]$ yang memenuhi $2-2\cos^2x \leq \sqrt{3}\sin x$ berbentuk $[a,b]\cup [c,d]$. Nilai $a+b+c+d$  adalah ...

Pembahasan No.13

\begin{split}& 2-2\cos^2x \leq \sqrt{3}\sin x\\\Rightarrow & 2(1-\cos^2x)\leq \sqrt{3}\sin x\\\Rightarrow & 2\sin^2x \leq\sqrt{3}\sin x\\\Rightarrow & 2\sin^2x -\sqrt{3}\sin x \leq 0\\\Rightarrow & \sin x(2\sin x -\sqrt{3}) \leq 0\end{split}
Pembuat nol pertidaksamaan di atas ialah $\sin x = 0$ dan $2\sin x - \sqrt{3}=0$
Jika $\sin x = 0$ maka $x=0$ atau $x=\pi$ atau $x=2\pi$
Jika $2\sin x - \sqrt{3}=0\Rightarrow \sin x =\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ maka $x=\dfrac{\pi}{6}$ atau $x=\dfrac{5\pi}{6}$.
Buat garis bilangan dari $0$ hingga $2\pi$ lalu uji titik $x=\dfrac{\pi}{2}$.

Dari ilustrasi di atas didapat penyelesaian $\left[ 0,\dfrac{\pi}{6} \right] \cup\left[ \dfrac{5\pi}{6} , \pi\right]$.
Dengan demikian $a=0$ , $b=\dfrac{\pi}{6}$,$c=\dfrac{5\pi}{6}$, dan $d=\pi$.
Makara : \begin{split}& a+b+c+d\\= & 0+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\pi\\= & 2\pi\end{split}

Soal No.14

Jika $y=2^{3x^2+cx-1}$ dan $y=4^{x^2-\frac{c}{2}}$ bersinggungan, maka $c^2+c=\ldots$

Pembahasan No.14

\begin{split}& 2^{3x^2+cx-1} = 2^{2x^2-c}\\\Rightarrow & 3x^2+cx-1=2x^2-c\\\Rightarrow & x^2+cx-1+c=0\end{split}
Karena kedua kurvanya bersinggungan maka Diskriminan persamaan kuadrat di atas bakal sama dengan 0 yaitu : \begin{split}& c^2-4(-1+c)=0\\\Rightarrow & c^2-4c+4=0\\\Rightarrow & (c-2)(c-2)=0\\\Rightarrow & c=2\end{split}
Makara $c^2+c=4+2=6$

Soal No.15

Diketahui dua lingkar $x^2+y^2=2$ dan $x^2+y^2=4$ . Garis $l_1$ menyinggung lingkar pertama di titik $(1,-1)$. Garis $l_2$ menyinggung lingkar kedua dan tegak lurus dengan garis $l_1$ . Titik potong garis $l_1$ dan $l_2$ ialah ...

Pembahasan No.15

Persamaan garis $l_1$ ialah $1x+(-1)y=2$ atau $x-y=2$ dengan gradien $m_1=1$ . $l_2$ tegak lurus $l_1$ maka gradien $l_2$ menjadi $m_2=-1$ .
Dengan demikian sanggup dimisalkan persamaan $l_2$ adalah
$y=-x+c$. Substitusikan persamaan tersebut ke persamaan lingkaran
$x^2+y^2=4$
diperoleh : \begin{split}& x^2+(-x+c)^2=4\\\Rightarrow & x^2+x^2-2cx+c^2=4\\\Rightarrow & 2x^2-2cx+c^2-4=0\\\end{split}
$l_2$ menyinggung lingkar maka Diskriminan persamaan di atas sama dengan 0 yaitu : \begin{split}& (-2c)^2-4\cdot 2\cdot(c^2-4)=0\\\Rightarrow & 4c^2-8c^2+32=0\\\Rightarrow & 4c^2=32\\\Rightarrow & c^2=8\\\Rightarrow & c=\pm 2\sqrt{2}\end{split}
Jika $c=2\sqrt{2}$   maka persamaan $l_2$ menjadi $y=-x+2\sqrt{2}$   dan titik potongnya dengan $l_2$ diperoleh dengan trik mensubstitusikannya ke persamaan $l_1$ yakni : \begin{split}& x-y=2\\\Rightarrow & x-(-x+2\sqrt{2})=2\\\Rightarrow & x+x-2\sqrt{2}=2\\\Rightarrow & 2x=2+2\sqrt{2}\\\Rightarrow & x=1+\sqrt{2}\end{split}
Sehingga,\begin{split}y & =-x+2\sqrt{2}\\& =-(1+\sqrt{2})+2\sqrt{2}\\& =-1+\sqrt{2}\\& =\sqrt{2}-1\end{split}
Makara titik potong antara $l_1$ dan $l_2$ ialah $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$


Lanjutan :